第一章 历史介绍

1、相对论波动力学

波动力学首先以相对论波动力学出发的,但明显有问题。

德布罗意通过对物质波的描述 $2\pi(k\cdot x-\nu t)$ 联系上洛伦兹不变性,就可以给 $k$、$\nu$ 联系上能量、动量。

矩阵力学的部分灵感是坚持理论仅建立在可观测量的关系之上,这种实证主义在量子场论上多次出现,但现代量子场论已经远离了这个想法。

克莱因高登方程(薛定谔考虑的):先给出经典哈密顿量,用德布罗意关系替换得到的。以此预言氢原子定态出现问题(未考虑电子自旋)。狄拉克解决这个问题,但是他并非从电子自旋的相对论理论入手,而是从“电子为什么具有 $\hbar/2$ 自旋?”这个问题入手,关键在于概率必须为正,因此波函数必须要满足对时间一阶导的方程。

1、假设电子波函数为多分量的,并满足 $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi$

2、假定洛伦兹不变,方程关于空间线性:$H=-i\hbar c\alpha\cdot\nabla+\alpha_4mc^2$

3、能够退回克莱因高登方程,这样可以得到矩阵 $\alpha$ 之间的关系,这样的关系是洛伦兹不变的。$\gamma=-i\alpha_4\alpha$,满足反对易关系,要满足洛伦兹变换必须联系相似变换$A^\mu_\nu\gamma^\nu=S^{-1}(A)\gamma^\mu S(A)$ ,这表明,坐标变换下,波函数$\psi\rightarrow S(A)\psi $。

拓展到任意电磁场,并迭代到二阶方程,比克莱因高登方程多了两项(电子磁矩与?)

这样实现了正概率密度

负能量:

缺点:第一,对负概率问题的分析似乎排除了自旋为0的粒子的存在。第二,玻色子的反粒子如何能用泡利不相容原理解释?

2、量子场论的诞生

1926年Born、Heisenberg与Jordan忽略电磁场的极化对电磁场进行了量子化。

他们通过简正坐标,将系统解耦(经典的运动模式)。对运动模式的系数(简正坐标)量子化,这样就得到了单个简正模的情况。 $a_k$ 代表了 $k$ 这个简正模下的产生湮灭算符,可以将整个体系的完备集写为 $\{|n_1>|n_2>\cdots|n_k>\cdots\}=\{|n_1,n_2,\cdots,n_k,\cdots>\}$ ( $|n_1,n_2,\cdots,n_k,\cdots>$ 这是告诉我们,在 $k$ 子系统(模式)处于 $n_k$ 这个量子态,也就是说这个基矢标志了所有的运动模式处于怎样的量子态,场的一般态应该是这个基矢的线性叠加。基矢的能量本征态就是对运动模式对应的子系统能量本征态求和,$n_k$ 表示能量为 $\hbar\omega_k$ 的粒子数,粒子数算符。这里要搞明白简正模上占有的粒子数是什么含义!),当然对于连续体系这样表示不便,所以用产生算符作用于基态更好表示。

Born、Heisenberg与Jordan利用这套体系导出了黑体辐射的能量涨落的方均根表达式,后来应用于自发辐射速率的计算:光子的能量/经典的辐射功率

Dirac考虑了量子化原子态在经典震荡电磁场中的行为,来计算

”这块不太清楚“

1928年Jordan、Pauli证明不同时空点的场的对易是洛伦兹不变的,Bohr、Leon证明这限制了类时间隔的时空点场测量的能力。

成功量子化电磁场后,应用于其他场。之所以称为二次量子化是因为被量子化的场是单粒子量子力学的波函数,例如电子的狄拉克波函数。

1927年Jordan和Wigner发现泡利不相容原理不允许电子在任意简正模 $k$ 上的占有数 $n_k$ 取0、1以外的值。由此要求电子场用满足反对易关系的算符展开。

1929年,Heisenberg和Pauli提出量子场论的一般理论,将正则体系用于场本身而不是简正模的系数。将拉格朗日量取为场与场的时空导数的定域函数的积分,场方程变分得到。应用正则关系,拉格朗日量对场对时间的导数的变分类似于共轭于场的动量,这样可以讨论荷守恒、规范不变、洛伦兹不变。可是负能态的解答

many-time体系

1933-1934年,Fock和Furry提出Dirac空穴理论于电子的量子场论等效的思想。用量子化的场代替“波函数”计算 $H$ 的“期望值”构造哈密顿量。非正定的,一半频率为负(但是为什么场算符那样构造?

后来,Furry与Oppenheimer重拾了这个想法得到电子场的量子化。

1934年,零自旋带电粒子的负能态问题也被Pauli与Weisskopf解决。回到Heisenberg和Pauli正则体系来确定各个简正模的系数是产生还是湮灭算符。

在Furry、Oppenheimer模型和Pauli、Weisskopf模型中的负概率密度问题解释:

那些场都不是用来定义正定的守恒的概率密度所需要的概率振幅。作为替代,张成Hilb空间的态定义为每个简正模中包含确定粒子数的态(这里要理解什么是“粒子”?以及场函数到底是什么?延申:经典场函数是什么?经典场是怎样的近似?),若 $\Phi_n$ 是这种态的正交完备集,那么测量任意态 $\Psi$ 下的粒子数所得到的是发现系统处于 $\Phi_n$ 态的概率。$\phi$ 、$\psi$ 是不同简正模下产生湮灭粒子的算符。对“概率密度”的积分并不能解释为总概率什么的,而应该称之为粒子数与反粒子数之差。

对量子场论的不满(1930s):1、宇宙带电粒子穿透力的预测错误 2、新粒子与新相互作用陆续发现。1920s,普遍相信重核由质子与电子构成,但很难想象电子这样的轻粒子是如何禁闭于核中。Ehrenfest与Oppenheimer于1931年指出对于 $N^{14}$ 必须由14质子与7电子构成,所以只能是费米子,但分子光谱显示这是玻色子。1932年发现中子,Heisenberg提出核由质子与中子所组成。.... 1935年Hideki Yukawa(汤川秀树)针对核力提出标量场与核子(质子、中子)的相互作用产生了一个核子-核子势:

$$ V(r)\propto \frac{1}{r}exp(-\lambda r) $$

$\lambda$ 根据强力作用范围被确定下来,取名为 $\pi$ 介子(自旋为1,凑巧吧)。还有 $\mu$ 介子的疑难。

任何局限于光子、电子、正电子的概念框架都太过狭窄,需要一个更大的基本理论。

3、无限大的问题

经典电子论早期,电子自能无限大。量子场论早期也遇到了,并且更严重,改善但仍留存至今。第一次被Pauli、Heisenberg在1929-1930的文章中第一次注意到。Oppenheimer计算束缚电子自能也发现了,自由电子(Ivar Waller)。使用的是普通的二阶微扰论,含有电子与光子组成的真空态。

氢原子电子第n能级的位移:

引起发散的是波长非常短的粒子的中间态(原始Dirac空穴理论发现的),但是在新的空穴理论中仍然发现有问题。

1930s,各种无穷大似乎预示着相对论量子场论有一道鸿沟。Heisenberg提出基本尺度、赋予场论非定域结构、基于可测量的体系(S矩阵,惠勒、海森堡)、1945年,Wheeler与Feynman尝试用远距离作用到处电磁相互作用、引入负概率态抵消无穷大、Hilb空间中的不定度规、重整化(修正电子质量为负无穷大)。

1936年,Weisskopf大量例子证明无穷大可以通过物理参量的重整化消除。

。。。各种努力。。。 (比如让电子自能无法显式的体现

Schwinger 算符方法 作用量原理

基于洛伦兹不变的算符理论 朝永振一郎(Tomonaga)

费曼积分 计算S矩阵元直到任意阶

1949年 戴森证明了Schwinger与Tomonaga体系与费曼图等价,并给出判断是否可重整化的依据(所有无穷大是否都可以吸收入有限个重新定义的参数),发现费曼图总是可重整化的。

当时缺乏对重整化的信心。

第二章 相对论量子力学

why? 量子场论在一定条件下是协调量子力学和狭义相对论的唯一形式。

首先洛伦兹不变性如何出现于量子?

1、量子力学介绍

2、对称性

Wigner在1930s证明了对称性变换对应的算符及性质(线性、幺正)。

一个无限小的对称变换的算符可表达为: $U=1+i\epsilon t$

为了保证线性、幺正,$\epsilon$ 为无穷小参量, $t$ 必须为线性、厄米的可观测量算符。其实很多(也许全部)物理量都是以这样的方式从对称变换中产生。

对称变换的集合可以被定义为群。论证变换算符是投影表示还是普通表示。

联通Lie群:有限个连续实参量描述的变换 $T(\theta)$ 构成的群

乘法规则:$T(\overline\theta)T(\theta)=T(f(\overline\theta,f(\theta))$

$\theta^a=0$,必满足 $f^{a}(\theta,0)=f^{a}(0,\theta)=\theta^a$

单位元附近展开:$U(T(\theta))=1+i\theta^{a}t_{a}+\frac{1}{2}\theta^b\theta^ct_{bc}+\cdots$

假定 $U(T(\theta))$ 构成变换群的普通表示,即 $U(T(\overline\theta))U(T(\theta))=U(T(f(\overline\theta,\theta)))$

$T(f(\overline\theta,f(\theta))$ 的二阶展开:$T(f(\overline\theta,f(\theta))=\theta^a+\overline{\theta^a}+f^a_{bc}\overline{\theta^b}\theta^c$

上上式带入进去得到

最后修改:2021 年 07 月 23 日 04 : 21 PM
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