# 1 motivation and foundation

1.1 Who need it?

量子场论是狭义相对论与量子力学的产物(就像弦论是广相与),是对粒子产生湮灭这个事实的描述。

量子力学告诉我们能量是涨落着的,相对论告诉我们能量可以转化为质量(反之亦然),两者的结合告诉我们,涨落的能量可以转化为质量,也就是产生新的粒子。

在量子力学中的电磁场,它的傅里叶部分被量子化为谐振子的集合,导致了光子的产生湮灭算符。电子也应该以同样的方式描述它的产生湮灭。

在经典物理中,我们可能已经遭遇了类似于粒子产生湮灭的现象。对于二维弹簧振子,拉格朗日量$L$:

$$ L=\frac{1}{2}(\sum_{a}m\dot{q}^2_a - \sum_{a,b}k_{a,b}q_{a}q_{b} - \sum_{a}g_{a,b,c}q_{a}q_{b}q_{c} - \cdots)\tag{1} $$

采用简谐近似,保留$q$的二次方,可以得到:$m\ddot{q}_a=-\sum_{b}k_{a,b}q_{b}$,分离时间变量得到$m\omega^{2}q_{a}=-\sum_{b}k_{a,b}q_{b}$,可以得到特征值和特征矢量。通过叠加特征模式构建波包。当我们量子化这个理论,这些波包表现得像粒子。用同样的方式将电磁场量子化后,这些表现像粒子的波包称为光子。这个理论是线性的,两个波包之间没有相互作用,一旦我们考虑更高次幂的非线性项,特征模式之间彼此耦合。一个波包可以衰变为两个。两个波包的散射可能产生更多波包。自然地我们认为粒子物理可以被这些项描述。

QFT在凝聚态物理中的使用是令人惊讶的。为什么我们不能简单的写下固体所有电子和离子的波函数,然后用薛定谔方程求解呢?答案是可以,那么为什么凝聚态需要QFT? 在固体中,离子的振动可以被所谓的声子很好的描述。电子空穴的描述可以很好的与粒子的产生湮灭联系起来。

1.2 Path Integral Formulation of Quantum Physics

复习路径积分的原因是路径积分提供了一个方便的方法从量子力学过渡到量子场论。

(... 一个费曼从双缝衍射推广到任意路径积分的故事...)

路径的积分如何定义?直线去近似,这就像无穷多无穷接近的开孔的screen充斥着整个空间。路径的振幅如何定义?

QM中波函数两点传播的表示、传播子。

狄拉克符号形式

$$ \begin{aligned} &<q_F|e^{-iHt}|q_I>\\=&<q_F|e^{-iH \delta t}e^{-iH \delta t} \cdots e^{-iH \delta t}|q_I>\\=&(\prod^{N-1}_{j=1}\int dq_j)<q_F|e^{-iH \delta t}|q_{N-1}><q_F|e^{-iH \delta t}|q_{N-1}><q_{N-1}|e^{-iH \delta t}|q_{N-2}> \cdots <q_2|e^{-iH \delta t}|q_1><q_1|e^{-iH \delta t}|q_I> \end{aligned} $$

以自由粒子的演化算符为例计算$<q_{j+1}|e^{-iH \delta t}|q_{j}>$,并代入上式,

$$ <q_F|e^{-iHt}|q_I>=(\frac{-im}{2\pi\delta t})^{\frac{N}{2}}(\prod^{N-1}_{j=1}\int dq_j)e^{i\delta t(m/2)\sum^{N-1}_{j=0}[(q_{j+1}-q_j)/\delta t]^2} $$

当$\delta t \rightarrow 0$,$[(q_{j+1}-q_j)/\delta t]^2$可以表示为$\dot{q}^2$,$\delta t \sum^{N-1}_{j=0}$可以表示为$\int^T_0 dt$。定义路径的积分为:

$$ \int Dq(t)=lim_{N\rightarrow\infty}(\frac{-im}{2\pi\delta t})^{\frac{N}{2}}(\prod^{N-1}_{j=1}\int dq_j)\\ <q_F|e^{-iHt}|q_I>=\int Dq(t)e^{i\int^T_0 dt\frac{1}{2}m\dot{q}^2} $$

$<q_F|e^{-iH \delta t}|q_{N-1}><q_F|e^{-iH \delta t}|q_{N-1}><q_{N-1}|e^{-iH \delta t}|q_{N-2}> \cdots <q_2|e^{-iH \delta t}|q_1><q_1|e^{-iH \delta t}|q_I>$理解为带着$q_{N-1} \cdots q_1$无穷参数的路径的振幅。$\int Dq(t)$理解为对路径的无穷参数求和。

$<q_F|e^{-iHt}|q_I>$就可以很方便的对所有路径$q(t)$积分来得到。

对于$\hat{H}=\hat{P}^2/2m+V(\hat{q})$,可得:

$$ \begin{aligned} <q_F|e^{-iHt}|q_I>&=\int Dq(t)e^{i\int^T_0 dt[\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q)]}\\&=\int Dq(t)e^{i\int^T_0 dt L(\dot{q},q)}\\&=\int Dq(t)e^{iS} \end{aligned} $$

最终,我们可以计算$<F|e^{-iH \delta t}|I>$,使用路径积分的方法计算任意态的演化。

导出经典极限

1.3 从弹簧振子到场

连续极限下的物质

对上面单粒子的情况很容易推广到N粒子体系

$$ \begin{aligned} &H=\sum_a\frac{1}{2m_a}\hat{p}_a^2+V(\hat{q}_1,\hat{q}_2,\cdots,\hat{q}_n)\\ &Z=<0|e^{-iHT}|0>=\int Dq(t)e^{i\int^T_0 dt L(\dot{q},q)}=\int Dq(t)e^{iS}\\ &S(q)=\int^T_0 dt(\sum_a\frac{1}{2}m_a\hat{1}_a^2-V[q_1,q_2,\cdots,q_N]) \end{aligned} $$

$V[q_1,q_2,\cdots,q_N]$包含了粒子间的相互作用能和外界作用。

将栅格空间距离$l \rightarrow 0$,$q_a(t) \rightarrow q(t,\vec{x}) \rightarrow \phi(t,\vec{x})$,我们称呼$\phi(t,\vec{x})$为场。

对场采用简谐近似

从弹簧振子到场是因为数学上的原因。毕竟没有人相信在自然界中观察到带有点质量用弦连接的场(比如介子场、光子场)。

按照现代观点(我们称之为金兹堡-朗道),从我们期望的对称性入手(如果做粒子物理,选洛伦兹对称性),决定场(通过指明场在对称性下的变化),然后写下包含但不超过二阶时间导数的作用量(因为不知道如何量子化更高阶时间导数的作用量)。

洛伦兹协变作用量:

$$ S=\int d^dx[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{3!}\phi^3-\frac{\lambda}{4!}+\cdots] $$

$d=D+1$维时空

附加对称性的力量

洛伦兹协变性加上拉格朗日量包含不超过二阶时间导数的要求,告诉我们拉格朗日量只能有这样的形式($L=\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-V(\phi)$)【准确来说,$U(\phi)(\partial\phi)^2$也是允许的,它描述质量取决于位置的粒子】

在量子场论中,$\vec{x}$是一个指标(出现在$\phi(t.\vec{x})$中,仅区分我们谈论的是哪个场变量),而不是动力学变量/算符

对称性对相互作用V的限制。

对于d=(D+1)维时空的标量场方程,$Z=\int D\phi e^{i\int d^dx(\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-V(\phi))}$

因此(0+1)维量子场论仅仅是量子力学

经典极限

上述去掉了$\hbar$量纲,现在引入。由于$\hbar$远小于作用量,我们可以使用确定的相位近似的计算路径积,这将会导出欧拉方程,带入具体的拉格朗日量得到场方程。

真空

之前学习了$<F|e^{-iHt}|I>$,对于初态终态我们可以任意的选择。一个方便且独特的选择是采用$|I>=|F>$为基态,也就是说我们计算从基态跃迁到基态的概率振幅。设真空能为0。

扰动真空

现在我们扰动真空,在某个时空点创造一个粒子,看着它传播然后在某个时空点湮灭。让我们看看如何描述这个操作?让我们返回弹簧振子,上下弹跳它去创造一些激发。显然的,在指标为a的弹簧振子处的势能,增加一项$J_a(t)q_a$,更一般的我们可以增加$\sum J_a(t)q_a$。然后回到场论,$\int d^D J(x)\phi(x)$被添加到拉格朗日量中。$J(t,\vec{x})$描述了弹簧振子如何能被扰动。这里实际上是系统外的扰动,可以是经典的,而不是量子涨落。

上下弹跳的办法可以获得波包,这很像粒子的产生湮灭,因此我们可以路径积分:

$$ Z=\int D\phi e^{i\int d^4x[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-V(\phi)+J(x)\phi(x)]} $$

自由场理论

$L(\phi)=\frac{1}{2}[(\partial\phi)^2-m^2\phi^2]$这叫做自由/高斯理论。相应的经典运动方程变成$(\partial^2+m^2)\phi=0$,就是我们熟知的克莱因——高登方程。它的解为$\phi(\vec{x},t)=e^{i(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{x})}$,满足$\omega^2=\vec{k}^2+m^2$。这实际上是质量为m的粒子的能量动量相对论性关系,我们期待场论描述相对论性的粒子。

$$ \begin{aligned} Z&=\int D\phi e^{i\int d^4x[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-m^2\phi^2+J(x)\phi(x)]}\\ &=\int D\phi e^{i\int d^4x[-\frac{1}{2}\phi(\partial^2-m^2)\phi+J(x)\phi(x)]} \end{aligned} $$

如何求积分呢?可以采用离散化的办法,空间离散化,算子化作矩阵【$\partial\phi(x)\rightarrow(1/a)(\phi_{i+1}-\phi_i)=\sum_jM_{ij}\phi_j$】,积分化作求和。

$$ \begin{aligned} Z&=\int D\phi e^{i\int d^4x[-\frac{1}{2}\phi(\partial^2-m^2)\phi+J(x)\phi(x)]}\\ &=(\prod^{N-1}_{j=1}\int dq_j)e^{(i/2)q\cdot A\cdot q+iJ\cdot q}\\ &=(\frac{(2\pi i)^N}{det[A]})^{\frac{1}{2}}e^{-(i/2)J\cdot A^{-1}\cdot J} \end{aligned} $$

这里的A矩阵就相当于算子$-(\partial^2+m^2)$。

$A\cdot A^{-1}=I$在离散化的情况下成为$-(\partial^2+m^2)D(x-y)=\delta^{(4)}(x-y)$

我们的结果:

$$ Z(J)=Ce^{-(i/2)\int\int d^4xd^4yJ(x)D(x-y)J(y)}=Ce^{iW(J)} $$

$D(x)$完全由$-(\partial^2+m^2)D(x-y)=\delta^{(4)}(x-y)$决定,很明显$C=Z(J=0)$,$Z(J)=Z(J=0)e^{iW(J)}$,$W(J)=-\frac{1}{2}\int\int d^4xd^4yJ(x)D(x-y)J(y)$

自由传播

$D(x)$是传播子,作为微分算子的反面,与格林函数有着紧密的联系。

$-(\partial^2+m^2)D(x-y)=\delta^{(4)}(x-y)$的解为:

$$ D(x-y)=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{e^{ik(x-y)}}{k^2-m^2+i\epsilon} $$

然后计算这个积分。

从场到粒子到力

从场到粒子

再上一章,对于自由场我们得到$W(J)=-\frac{1}{2}\int\int d^4xd^4yJ(x)D(x-y)J(y)$。我们记$J(k)=\int d^4xe^{-ikx}J(x)$,$W(J)=\frac{1}{2}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}J(k)^\ast\frac{1}{k^2-m^2+i\epsilon}J(k)$

考虑两个局域的时空点的扰动,$J(x)=J_1(x)+J_2(x)$,那么W(J)蕴含J1、J2交叉项。

$$ W(J)=-\frac{1}{2}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}J_2(k)^\ast\frac{1}{k^2-m^2+i\epsilon}J_1(k) $$

这些交叉项要很大,除非,J1、J2在傅里叶部分显著的重叠,或者$k^2=m^2$时。

因此我们理解了一个简单例子,在区域1的存在一个发射扰动的源,然后在区域2被吸收。实验者选择称呼为质量为m的粒子(m为场方程所带)。W(J)对所有的k积分,对于任意的k值,我们说虚拟粒子从1传播到2,然后被吸收。

最后修改:2020 年 09 月 15 日 11 : 40 PM
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