这里介绍一下Noether定理,假定读者已具有拉格朗日力学的相关基础。诺特定理是理论物理的中心结果之一,它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立的。

守恒量的概念

场的作用量:

$$ S=\int_G L(\phi^A,\partial_\mu\phi^A)(dx)=0 $$

$$ (dx)=dx^1dx^2dx^3dx^0 $$

场的作用量对某种连续变换的不变性对应一种守恒量,这种守恒量不随时间变化。
设$\theta_{\mu\nu...\lambda}(x)$为n阶张量场,满足:
(1)、$\theta_{\mu\nu...\lambda}|_{\vec{x}\rightarrow\infty}=0 $,即$\theta_{\mu\nu...\lambda}(\infty,t)=0$(为什么对空间不一定不变的原因:时间无穷远处物理量不一定为0)
(2)、$\partial_\lambda\theta_{\mu\nu...\lambda}=0 $
则存在一个n-1阶守恒张量:

$$ T_{\mu...\nu}=\frac{1}{i}\int\theta_{\mu...\nu 4}dV=C. $$

证明

已知$\partial_\lambda\theta_{\mu\nu...\lambda}=0 $,由Gauss定理可得

$$ \int_G\partial_\lambda\theta_{\mu\nu...\lambda}(dx)=\int_\Sigma\theta_{\mu\nu...\lambda}d\sigma_\lambda $$

选取G为两个类空曲面$\Sigma_1$、$\Sigma_2$之间的四维体积,因为$\theta_{\mu\nu...\lambda}(\infty,t)=0$,则

$$ \int_\Sigma\theta_{\mu\nu...\lambda}d\sigma_\lambda=(\int_{\Sigma_1}-\int_{\Sigma_1})\theta_{\mu\nu...\lambda}d\sigma_\lambda=0 $$

即,

$$ \int_{\Sigma_1}\theta_{\mu\nu...\lambda}d\sigma_\lambda=\int_{\Sigma_2}\theta_{\mu\nu...\lambda}d\sigma_\lambda $$

可以看出,上式积分对于任意类空超曲面$\Sigma$不变。即

$$ T_{\mu...\nu}=\frac{1}{i}\int\theta_{\mu...\nu\lambda}d\sigma_\lambda=C. $$

,在超曲面上$\Sigma_1$、$\Sigma_2$上,$d\sigma_1=d\sigma_2=d\sigma_3=0$,$d\sigma_4=\frac{1}{i}dV$,因此,

$$ T_{\mu...\nu}=\frac{1}{i}\int\theta_{\mu...\nu 4}dV=C. $$

即$T_{\mu ... \nu}$是不随时间t改变的守恒量。

$\theta_\mu$具体形式(对应着守恒标量)

接下来我们想要寻找什么样的$\theta_\mu$符合上述(1)(2)条件。
场的作用量:

$$ S=\int_G L(\phi^A,\partial_\mu\phi^A)(dx)=0 $$

对于以下微量变换,保持不变性($S=S^\prime$):

$$ x^\prime=x+\delta x $$

$$ \phi^{A\prime}(x^\prime)=\phi^A(x)+\delta\phi^A(x) $$

则存在一个矢量(第一项代表坐标变换的变分,第二项代表$\phi^A(x)$的形式变分。),

$$ \theta_\mu=(L\delta_{\mu\nu}-\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu\phi^A)}\partial_\nu\phi^A)\delta x^\nu + \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi^A)}\delta\phi^A $$

满足:

$$ \partial_\mu\theta_\mu+(\frac{\partial L}{\partial\phi^A}-\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi^A)})\delta_0\phi^A=0 $$

$$ \delta_0\phi^A(x)=\phi^{A\prime}(x)-\phi^{A}(x) $$

($\delta_0\phi^A$代表$\phi^A(x)$的形式变分。)
可看出当拉格朗日方程成立的时候,$\partial_\mu\theta_\mu=0$。

最后修改:2020 年 02 月 03 日 01 : 21 AM
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