拓扑空间

介绍以及定义

  若X、Y是一般的集合,对X、Y之间的映射只能提出“一一”和“到上”这两个要求;但若X与Y还指定了某种结构,则往往可对其之间的映射提出更多的要求。例如,连续性$C^0$甚至是光滑性$C^{\infty}$。开子集是极为有用的结构,可以有别于 $\mathcal{E} - \delta$ 语言定义映射的连续性。有必要使其更加抽象以便于推广。定义了开子集概念的集合叫拓扑空间。开子集具有以下(a)、(b)、(c)三条性质:a)、X本身和 $\emptyset$ 为开子集。b)、有限个开子集之交为开子集(举一个无限个开子集之交非开的例子)。c)、任意个开子集之并为开子集。这三条要求给集合X赋予了一种附加结构(拓扑),对定义了拓扑结构的集合,我们称之为拓扑空间,我们可以对它的任意子集问,开还是非开,答案泾渭分明,反之对没有定义拓扑结构的集合,这样问毫无意义。

  定义1:非空集合X的一个拓扑 $\mathscr{T}$ 是X的若干子集的集合,满足:(a)、$X,\emptyset \in \mathscr{T}$。(b)、若$O_{i} \in \mathscr{T}$,i=1,2,3,...,n,则$\bigcap_{i=1}^{n} O_{i} \in \mathscr{T}$。(c)、 若$O_{\alpha} \in \mathscr{T}\ \forall \alpha$,则$\bigcup_{a} O_{\alpha} \in \mathscr{T}$。

  定义2:指定了拓扑 $\mathscr{T}$ 的集合X称之为拓扑空间。拓扑空间X的子集O称之为开子集,简称开集,若$O\in\mathscr{T}$。

  对于同一集合X可定义不同拓扑 $\mathscr{T}$ ,对给定的具体集合X,应选哪一个拓扑使其成为拓扑空间,这取决于X自身性质以及我们要解决的问题。比如 $R^{n}$,大多数数学问题都选”通常拓扑“为拓扑。(待补充:拓扑基的概念)值得注意的是,在谈论子集开与非开时,我们要关注拓扑空间使用的是什么拓扑,只有$O \in \mathscr{T}$ ,我们才能称其为开集。另外,非开子集与闭集是两回事。闭集A的定义是 $-A \in \mathscr{T}$ 。可以即开又闭,比如 X和$\emptyset$ ,还有 $ X=A \bigcup_{} B $,A、B均为R的开子集,拓扑$\mathscr{T}=\{X,\emptyset,A,B\}$ 。如果一个集合即开又闭的子集只有2个,那么我们称其为联通的,上例显然是不连通的。在通常情况中,弧线联通与联通是一回事。

拓扑的应用——映射的连续性

  定义3a:设 $(X, \mathscr{T})$ 和 $(Y, \mathscr{S})$ 为拓扑空间,映射 $f : X \rightarrow Y$ 称为连续的,若 $f^{-1}[O] \in \mathscr{T}\ $,$\forall O \in \mathscr{S}$(在两个拓扑空间之间的映射,如果两个拓扑结构的不同会导致不连续,举一个例子)。

  定义3b:设 $(X, \mathscr{T})和(Y, \mathscr{S})$ 为拓扑空间,映射 $f : X \rightarrow Y$ 称为在点$ x \in X$ 处连续 ,若所有满足$f(x) \in G^{\prime}$ 的$ G^{\prime} \in \mathscr{S} , \exists G \in \mathscr{T}$ 使 $ x \in G$ 且 $ f[G] \subset G^{\prime} $ 。$ f : X \rightarrow Y $ 称为连续,若它在所有点$ x \in X $ 都连续。(证明3a与3b的等价)

  这样拓扑结构的确立就可以在两个拓扑空间之间的映射 $f$ 讨论 $C^{0}$ 性。

  定义4:拓扑空间 $(X, \mathscr{T}) $ 和 $ (Y, \mathscr{S})$ 称为互相同胚的。若存在映射 $ f : X \rightarrow Y $ ,满足(a)$f$ 是一一到上的;(b)$f$ 与 $f^{-1}$ 都连续。这样的 $f$ 称为从 $(X, \mathscr{T}) $ 到 $ (Y, \mathscr{S})$ 的同胚映射,简称同胚(理解为什么同胚的要求是一一到上且连续!)。

  对在拓扑空间之间的映射的最高要求已经体现在同胚中。映射 $ f : X \rightarrow Y $ 不仅在X与Y的点之间建立了一一对应的关系,而且还在X与Y的开子集之间建立了一一对应的关系。一切X的拓扑性质都可以由映射 $f$ 全息的映射到Y中。因此,两个同胚的拓扑空间从纯拓扑学来看就像的不能再像了,可以视作相等。两个不存在同胚的拓扑空间,一般是拓扑性质(比如紧致性)的不同。对于拓扑空间,只要不剪不粘则“变形”前后互相同胚。不同于欧式几何,它没有距离概念,连距离都没有的学问乍一看没有什么价值,其实不然。拓扑学在网络、电路的应用上就十分有价值,形成了“网络拓扑学”的分支。

  定义5:X的开子集的集合 $\{O_{\alpha}\}$ 叫 $A \subset X$ 的一个开覆盖,若 $A \subset \bigcup_{\alpha} O_{\alpha}$。也可以说 $O_{\alpha}$ 覆盖A。

紧致性


流形与张量场

微分流形

  微分流形是带有微分结构的各种“连续空间”(这里不是映射的连续性)。微分流形是带有微分结构的拓扑空间,局部的看着像 $R^{n}$,整体上看可以不同于 $R^{n}$。

  定义1:拓扑空间M称为n维微分流形,若M有开覆盖 $\{O_{\alpha}\}$,满足(a)对每一 $ O_{\alpha} $ 存在同胚 $\psi_{\alpha} :O_{\alpha} \rightarrow V_{\alpha}$($V_{\alpha}$ 是 $R^{n}$ 用通常拓扑衡量的开子集);(b)若 $O_{\alpha} \cap O_{\beta} \neq \emptyset$,则复合映射 $\psi_{\beta} \circ \psi_{\alpha}^{-1}$ 是 $\mathrm{C}^{\infty}$ 光滑的(条件(b)是相容性条件,要求 $\psi_{\beta} \circ \psi_{\alpha}^{-1}$ 具有相容的微分结构)。
图2-1

  注1 ①$\psi_{\beta} \circ \psi_{a}^{-1}$ 是n个n元函数。所谓 $\psi_{\beta} \circ \psi_{a}^{-1}$ 是 $\mathrm{C}^{\infty}$ 的,就是指这每一个n元函数都是 $\mathrm{C}^{\infty}$ 的(n元函数的C性在微积分中早有定义)。②设 $p \in O_{\alpha}$,则 $\psi_{\alpha}(p) \in \mathbb{R}^{n}$ ,故 $\psi_{\alpha}(p)$ 点有n个自然坐标很自然地把这n个数称为p点在映射 $\psi_{a}$ 下获得的坐标。 $M$ 作为拓扑空间,其元素本来一般没有坐标,但作为流形,$M$ 中位于 $O_{\alpha}$ 内的元素(点)就可通过映射获得坐标。若 $O_{\alpha} \cap O_{\beta} \neq \emptyset$,则 $O_{\alpha} \cap O_{\beta}$ 内的点既可通过 $V_{\alpha}$ 又可通过 $V_{\beta}$ 获得坐标,这两组坐标一般不同。我们说 $\left(O_{\alpha}, \psi_{\alpha}\right) $ 构成一个(局域)坐标系(coordinate system),其坐标域为 $ O_{\alpha} $;$\left(O_{\beta}, \psi_{\beta}\right)$ 构成另一坐标系,其坐标域为 $ O_{\beta}$。于是$O_{\alpha} \cap O_{\beta}$ 内的点至少有两组坐标,分别记作 $\{x^{\mu}\}$ 和 $\{x^{\nu\prime }\} (\mu, \nu=1,...,n)$。由映射 $\psi_{\beta} \circ \psi_{a}^{-1}$ 提供的、体现两组坐标之间关系的n个n元函数就称为坐标变换。物理中,规定参考系,本质上也就是给拓扑空间附加微分结构,而参考系变换也就是采用不同的 $\{\left(O_{\alpha}, \psi_{\alpha}\right)\} $。

  定义2:坐标系 $(O_{\alpha}, \psi_{\alpha}) $ 在数学上叫图,满足条件(a)(b)的全体图的集合 $\{(O_{\alpha}, \psi_{\alpha})\} $ 叫图册。条件(b)叫相容性原理,因此图册中任意两个图都是相容的。

  设图册 $\{(O_{\alpha}, \psi_{\alpha})\} $ 把拓扑空间M定义为一个流形,则此图册中的任意两个图自然是相容的。但也可用另一图册 $\{(O_{\beta}^{\prime}, \psi_{\beta}^{\prime})\}$ 把同一个 $M$ 定义为流形,这时有两种可能:①这两个图册互不相容,即存在 $ O_{\alpha}$ 和 $ O_{\beta}^{\prime} $ 使 $O_{\alpha} \cap O_{\beta}^{\prime} \neq \emptyset$,且在 $O_{\alpha} \cap O_{\beta}^{\prime} $ 上 $\psi_{\alpha} $ 与 $O_{\beta}^{\prime}$ 不满足定义1的条件(b),这时就说这两个图册把M定义为两个不同的微分流形,并说这两个图册代表两种不同的微分结构(对微分结构的概念须逐渐体会,不要求一步到位); ②这两个图册是相容的,这时就说它们把M定义为同一个微分流形(只有一种微分结构)。 为方便起见,不妨把 $\{(O_{\alpha}, \psi_{\alpha}) ;(O_{\beta}^{\prime}, \psi_{\beta}^{\prime})\}$ 看成一个图册。更进一步,索性把所有与 $\{(O_{\alpha}, \psi_{\alpha})\} $ 相容的图都放到一起造出一个最大的图册。今后说到M是一个流形时,总是默认已选定某一最大图册作为微分结构。这使我们可以进行任意坐标变换。坐标变换奇异的原因是超出了坐标域,像极坐标原点。
  微分流形与拓扑空间的重要区别是前者除有拓扑结构外还有微分结构,因此两个流形之间的映射不但可谈及是否连续,还可谈及是否可微,乃至是否 $C^{\infty}$。设 $M$ 与 $M^{\prime}$ 是两个流形,维数依次为n和n',$\{(O_{\alpha}, \psi_{\alpha})\} $ 和 $\{(O_{\beta}^{\prime}, \psi_{\beta}^{\prime})\}$ 依次为两者的图册,$f : M \rightarrow M^{\prime}$ 是一个映射(见图2-2)。$\forall p \in M$ , 任取坐标系 $\{(O_{\alpha}, \psi_{\alpha})\} $ 使 $p \in O_{\alpha}$ 及坐标系 $f(p) \in O_{\beta}^{\prime}$ 使 $f(p) \in O_{\beta}^{\prime}$,则 $\psi_{\beta}^{\prime} \circ f \circ \psi_{\alpha}^{-1}$ 是从 $V_{\alpha} \equiv \psi_{\alpha}\left[O_{\alpha}\right]$ 到 $R^{n}$ 的映射,因此相应于n个n元函数,它们的C性可用以定义 $f : M \rightarrow M^{\prime}$ 的C性。
图2-2

  定义3: $f : M \rightarrow M^{\prime}$ 称为 $C^{r}$类映射,如果 $\forall p \in M$,映射 $\psi_{\beta}^{\prime} \circ f \circ \psi_{\alpha}^{-1}$ 对应的n个n元函数是 $C^{r}$类的。

  定义4:微分流形 $M$ 与 $M^{\prime}$ 称为互相微分同胚。若 $\exists\ f : M \rightarrow M^{\prime}$,满足(a)$f$ 是一一到上的。(b)$f$ 与 $f^{-1}$ 是 $C^{\infty}$ 的。这样的 $f$ 称为 $M$ 到 $M^{\prime}$ 的微分同胚映射。

  定义5:$f : M \rightarrow \mathbb{R}$ 称为 $M$ 上的标量场。若 $f$ 是 $C^{\infty}$ 的,则称其为 $M$ 上的光滑函数。

  函数 $f : M \rightarrow \mathbb{R}$ 与坐标系结合 $(O, \psi)$ 结合可得一个n元函数 $F\left(x^{1}, \cdots, x^{n}\right)$ 。应注意区分标量场函数 $f$ 和它与坐标系结合而得的多元函数 $F$($F=f \circ \psi^{-1}$)。

切矢与切矢场

流形上的矢量

  回顾实数域上的矢量空间的定义。我们希望把实数域上矢量的“箭头”概念推广到任意流形M, 即给M的任一点p定义无数个矢量,使它们的集合构成p点的矢量空间。由于直线段、方向和长度对一般流形没有(或尚无)定义, 用箭头定义矢量的做法不能直接推广至一般流形。为了推广, 应找出箭头的本质的、便于推广的特性:设 $\vec{v}$ 是 $R^{'}$ 中任一点p的一个箭头, 则对 $R^{3}$ 上的任一 $C^{\infty}$ 函数 $f$ 就可沿 $\vec{v}$ 求方向导数,可见 $\vec{v}$ 是一个把 $f$ 变为实数的映射。由于求方向导数的操作有线性性并且满足莱布尼茨律,于是就找到了箭头 $\vec{v}$ 的本质:它是一个从 $\mathscr{F}_{\mathrm{R}^{3}}$到 $R$ 的、满足莱布尼茨律的线性映射(忘掉求导)。推广到任意流形 $M$ 的任意p点,便有如下定义:

  定义一:映射 $v : \mathscr{F}_{M} \rightarrow \mathbb{R}$ 称为点 $\boldsymbol{p} \in \boldsymbol{M}$ 的一个矢量,若 $\forall f, g \in \mathscr{F}_{M}$,$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 有:(a)、线性性——$v(\alpha f+\beta g)=\alpha v(f)+\beta v(g)$。(b)、莱布尼茨律——$v(f g)=f |_{p} v(g)+g |_{p} v(f)$,$f |_{p}$可记作 $f (p)$。

  根据定义一,要定义 $p$ 点的一个矢量只需指定一个从 $\mathscr{F}_{M}$ 到 $R$,满足条件(a)(b)的映射。根据这一定义,每一 $f \in \mathscr{F}_{M}$ 对应于一个确定的实数,这种映射有无限多。例如,指定一类映射,设 $(O, \psi)$ 是坐标系,其坐标为 $x^{\mu}$,则 $M$ 上任一光滑函数 $f \in \mathscr{F}_{M}$ 与 $(O, \psi)$ 结合的n元函数 $F\left(x^{1}, \cdots, x^{n}\right)$,借此给 $O$ 中任意一点定义n个矢量,记作 $x_{\mu}(\mu=1, \cdots, n)$,它们作用于任意 $f \in \mathscr{F}_{M}$ 的结果 $X_{\mu}(f)$ 定义为如下实数

$$ X_{\mu}(f) :=\left.\frac{\partial F\left(x^{1}, \cdots, x^{n}\right)}{\partial x^{\mu}}\right|_{p}, \quad \forall f \in \mathscr{F}_{M} $$

  定理:以 $V_p$ 代表 $M$ 中p点所有矢量的集合,则 $V_p$ 是n维矢量空间(n是 $M$ 的维数,也是图的坐标数)。即$dim V_{p}=dim M=n$
先证明 $V_p$ 是线性空间,再证明p点的n个矢量 $X_{\mu},\mu=1, \cdots, n $线性独立。再证明任何矢量是其线性组合

  定义二:坐标域内任一点p的 $\left\{X_{1}, \cdots, X_{n}\right\}$ 称为 $V_p$ 的一个坐标基底。$v \in V_{p}$ 用 $\left\{X_{\mu}\right\}$ 线性表示出的系数 $\nu^{\mu}$ 称为 $\nu$ 的坐标分量。

  定理:设 $\{ x^{\mu} \}$ 和 $\{x^{\prime\nu}\}$ 为两个坐标系,其坐标域交集非空,p为交集中的一点。则$$v^{\prime \nu}=\left.\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}}\right|_{p} v^{\mu},$$其中 $x^{\prime\nu}$ 是两坐标系件坐标变换函数 $x^{\prime\nu}(x^{\mu})$ 的简写。

证明(应该严格按照坐标分量的定义来,引入任意一个标量场 $f$,转化到实数空间的微积分来求证)
先求p点 $\{ x^{\mu} \}$ 和 $\{x^{\prime\nu}\}$ 之间的变换关系。由$x^{\mu}$的定义可知,$\forall f \in \mathscr{F}_{M}$ 有$$X_{\mu}(f)=\left.\frac{\partial f(x)}{\partial x^{\mu}}\right|_{p}, \quad X_{v}^{\prime}(f)=\left.\frac{\partial f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)}{\partial x^{\nu \prime}}\right|_{p}$$ 其中 $f(x)$ 和 $f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)$ 是由标量场 $f : M \rightarrow \mathbb{R}$(绝对的,不变的)分别同坐标系 $\{ x^{\mu} \}$ 和 $\{x^{\prime\nu}\}$ 结合而得到的n元函数 $f\left(x^{1}, \cdots, x^{n}\right)$ 和 $f^{\prime}\left(x^{\prime 1}, \cdots, x^{\prime n}\right)$ 的缩写。设q是两坐标域交集内任意一点,则标量场 $f$ 再q点的值 $f |_{q}$ 满足 $f |_{q}=f(x(q))=f^{\prime}\left(x^{\prime}(q)\right)$ ,简记为$f(x)=f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)$ (其实并不是正确的写法!),另一方面,每一 $x^{\prime\nu}$ 又是n个 $x^{\mu}$ 的函数,简记为 $x^{\prime \nu}=x^{\prime \nu}(x)$ 故 $f(x)=f^{\prime}\left(x^{\prime}(x)\right)$,于是$$X_{\mu}(f)=\left.\frac{\partial f^{\prime}\left(x^{\prime}(x)\right)}{\partial x^{\mu}}\right|_{p}=\left(\frac{\partial f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime \prime}} \frac{\partial x^{\prime \prime}}{\partial x^{\mu}}\right)_{p}=\left.\frac{\partial x^{\prime \prime \prime}}{\partial x^{\mu}}\right|_{p} X_{v}^{\prime}(f), \quad \forall f \in \mathscr{F}_{M},$$ 即,$$X_{\mu}=\left.\frac{\partial x^{\prime \prime}}{\partial x^{\mu}}\right|_{p} X_{\nu}^{\prime}.$$所以 $v=v^{\mu} X_{\mu}=v^{\prime \prime} X_{v}^{\prime}$ 可表示为$$v^{\mu}\left.\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}}\right|_{p} X_{\nu}^{\prime}=v^{\prime \nu} X_{v}^{\prime}.$$因为 $\{x^{\prime\nu}\}$ 中n个基矢线性独立,所以得证

曲线与切矢

  定义:设 $I$ 为 $R$ 的一个区间,$C^r$ 类映射 $\boldsymbol{C} : I \rightarrow M$ 称为 $M$ 上的一条 $C^r$ 类曲线。对任一 $t \in I$ ,有唯一的点 $C(t) \in M$ 与之对应。t称为曲线的参数(此处的曲线与直观的曲线概念有着差别,这里的曲线是指映射本身而不是像)。

  设映射 $\boldsymbol{C} : I \rightarrow M$ 与 $C^{\prime} : I^{\prime} \rightarrow M$ 的像重合,直观上就是同一条曲线,但只要 $C$ 与 $C^{\prime}$ 是不同映射,根据上述定义就是不同曲线。严格说, $C^{\prime} : I^{\prime} \rightarrow M$ 称之为 $\boldsymbol{C} : I \rightarrow M$ 的重参数化(严格定义略)。
曲线的重参数化
  曲线 $C$ 的像也常记作 $C(t)$,若t为具体值,则 $C(t)$ 只代表曲线像中的一点;只当把t理解为”可跑遍 $I$“时,$C(t)$ 才代表曲线的像。应该根据行文分辨”曲线“是指映射还是像。设 $(O, \psi)$ 是坐标系,$C[I] \subset O$,则 $\psi \circ C$ 是从 $I \subset \mathbb{R}$ 到 $R^n$ 的映射,相当于n个一元函数 $x^{\mu}=x^{\mu}(t), \quad \mu=1, \cdots, n$,称其为参数方程。

  坐标线的定义

  现在讨论曲线上的切矢,直观的认为曲线上有一点有无限多个彼此平行的切矢量。但若把曲线定义为映射(”带参数的曲线“),则一条曲线一点只有一个切矢。

  定义:设 $C(t)$ 是流形 $M$ 上的 $C^1$曲线,则线上 $C\left(t_{0}\right)$ 点的切矢T是 $C\left(t_{0}\right)$ 点的矢量,它对 $f \in \mathscr{F}_{M}$ 的作用定义为

$$ T(f) :=\left.\frac{\mathrm{d}(f \circ C)}{\mathrm{d} t}\right|_{t_{0}}, \quad \forall f \in \mathscr{F}_{M}. $$

这是有别于用坐标系而定义出的另一种矢量定义(由于在矢量空间中,所以可以用坐标基矢展开),它仍然满足线性性与莱布尼茨律,可以看出其形式与坐标系无关。注意:每当我们看到 $f$,我们需要引起警惕,区分它的真实的物理含义。$f : M \rightarrow \mathbb{R}$ 是 $M$ 上的函数(标量场),不是一元函数,但与曲线 $C : I \rightarrow M$ 结合 $f \circ C$ 便是一元函数,可记作 $f(C(t))$ 。不引起混淆的情况下,$\mathrm{d}(f \circ C) / \mathrm{d} t$ 也可简写为 $\mathrm{d} f / \mathrm{d} t$。切矢T也常记作 $\partial / \partial\left.t\right|_{C\left(l_{0}\right)}$。

  定理:设曲线 $C(t)$ 在某坐标系中的参数式为 $x^{\mu}=x^{\mu}(t)$,则线上任意一点切矢 $\partial / \partial t$ 在该坐标系下的展开式为

$$ \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\mathrm{d} x^{\mu}(t)}{\mathrm{d} t} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} $$【证】   定义平行的概念:非零矢量 $v, u \in V_{p}$ 称为互相平行的,若 $\exists \alpha \in \mathbb{R}$ 使得 $v=\alpha u$。   由切矢的定义可知,曲线的切矢依赖于曲线的参数化,一条曲线 $C(t)$ 的一点 $C(t_0)$ 只有一个切矢!以下定理表明,若两条曲线的像相同,则它们在任一点的切矢相互平行。 定理:设曲线 $C^{\prime} : I^{\prime} \rightarrow M$ 是 $C : I \rightarrow M$ 的重参数化,则两者在任一点的切矢 $\partial / \partial t$ 与 $\partial / \partial t^{\prime}$ 有如下关系【证】 $$v \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\mathrm{d} t^{\prime}(t)}{\mathrm{d} t} \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} $$

  有定义可知,$\forall p \in M$,若指定任一曲线 $C(t)$ 使 $p=C(t_{0})$,则 $V_{p}$ 中必有一元素可被视为该曲线在 $C(t_{0})$ 点的切矢。现在问:给定 $V_{p}$ 中任一元素 $v$,可否找到过 $p$ 点的曲线,且在 $p$ 点的切矢是 $v$?例如,任选坐标系 $\{x^{\mu}\}$ 使 $p$ 含于其坐标域内,则以 $x^{\mu}(t)=x^{\mu}|_{p}+v^{\mu} t$ 为参数式的曲线便是所需曲线。$V_{p}$ 中任一元素可视为过 $p$ 点的某曲线的切矢,因此 $p$ 点的矢量也成为切矢量,$v$ 则称为 $p$ 点的切空间。

流形上的矢量场

  上面讲到了与矢量有关的定义与流形上某一点的矢量以及切空间。这里开始讲流形上的矢量场。
  定义:设 $A$ 为 $M$ 的子集,若给 $A$ 中每一点指定一个矢量,就得到了一个定义在 $A$
上的矢量场。
  例如:非自相交曲线 $C(t)$ 上每一点的切矢构成了 $C(t)$($M$ 的子集)上的一个矢量场。

Last modification:December 25th, 2019 at 01:38 pm
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